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凱利公式的核心思想與意義
凱利公式揭示了一種在投資或賭局中根據勝率和賠率決定下注資金比例的策略，目的是避免因連續失敗而破產。這一公式強調持續的長期複利增長，而非短期的得失，讓投資者在不確定性中保持前進的動力。
- 核心思想：根據勝率和賠率決定下注比例。
- 目的：避免因連續失敗而破產。
- 強調：持續的長期複利增長。
三個關於「最後一手牌」的故事
以下三個故事分別強調了在逆境中保有資源與能力的重要性，無論何時都應為自己留一手，確保「下注」的能力，為未來的生存與成功提供保障。
故事一：最後一口水
在沙漠中迷路的人若能利用鋼筆中的墨水，可能就能堅持到獲救，這說明了在艱難時刻保有資源的重要性。
故事二：最後一層樓
一位富豪事業失敗後，依靠早前購入的商辦樓重新擁抱成功，顯示即使在絕望中，也要有可供重新開始的資源。
故事三：最後一筆財
猶太人儲備珠寶以備不時之需，體現了在危機中保有資本的重要性，這是重新振作的基礎。
凱利公式：一種聰明的下注方法
凱利公式是一種根據賭博輸贏概率計算最佳下注資金比例的方法。它允許投資者在不確定的情況下分批下注，並隨時間推移逐漸接近真相，以實現長期的盈利潛力。
凱利公式的數學原理
凱利公式的目標在於最大化長期投資的複利增長，透過計算在特定假設下應投入的資本比例，從而在風險與收益間取得最佳平衡。此公式在信息理論與概率理論中推導出來，旨在找到使資本預期對數增長率最優的策略。
不確定情況下的複利計算
凱利公式強調的是在風險環境中，通過長期策略來最大化投資的複利回報。即便短期內遭遇損失，只要長期勝率保持優勢，投資本金依然能實現複利增長。
凱利公式適用條件：期望值為正的投資
凱利公式僅適用於期望值為正的投資，即無法補救不良投資，亦不能幫助賭徒致富。只有在長期平均收益為正的情況下，公式才能給出有效的投資策略。
賠率與勝率的平衡
凱利公式並非只重視勝率或賠率，而是綜合考量兩者以確定最佳的投資倉位。以具體例子來看，公式在不同賠率與勝率狀況下，會計算出不同的最佳下注比例。
對下注比例的直覺錯誤認識
通過調整下注比例，對比不同比例下的最終收益，說明凱利公式計算出的最佳下注比例能取得最大的最終資金，反而增加下注比例可能降低長期的複利增長率。
「成長型」下注：不斷優化的遊戲
對於不斷優化的下注遊戲來說，可以將遊戲過程分為期望值負與期望值正的兩個階段。第一階段減少投入或不參與來優化勝率；而第二階段則利用凱利公式計算出最優投資比例。
逐步提高投資
在初期階段，可以分配部分資金用於學習與優化，設定「學習預算」，隨著經驗累積，逐步提高投資，直到達到凱利公式建議的最優比例。
凱利公式與精益創業的相似性
將「成長型」下注遊戲的兩個階段比喻為精益創業中的價值假設與價值驗證階段，投資者從遊戲中學習規則，探索有利可圖的策略
虧損與收益的不對稱性
凱利公式的目標是最大化長期的複利增長，即是最大化每年的複合收益率，同時也是最大化期末的幾何平均收益。
幾何平均回報與算術平均回報的差異
透過例子說明，幾何平均回報比算術平均回報更能準確地反映投資的真實收益。算術平均很容易高估長期投資表現，而幾何平均則考慮到複利效應。
以下表格展示了不同下注比例下的收益情況：
| 下注比例 | 最終收益 |
|---|---|
| 10% | 1000 |
| 20% | 1200 |
| 30% | 1100 |
不同賠率和勝率下的最佳下注比例：
| 賠率 | 勝率 | 最佳下注比例 |
|---|---|---|
| 1:1 | 60% | 20% |
| 2:1 | 40% | 20% |
| 3:1 | 30% | 10% |
避免歸零的風險
損失厭惡有其合理性，追求長期複利增長的投資者應防止大幅虧損。凱利公式不僅是為了最大化複利增長，也在於防止因短期失手而歸零的風險。
伯努利原理與凱利公式的關係
伯努利原理描述了大量獨立實驗中結果的平均值將趨近於期望值，常用來描述投資的期望回報;而凱利公式則是一種優化工具，旨在最大化投資的長期複利收益。
以下表格展示幾何平均回報與算數平均回報的差異：
| 年份 | 投資回報 | 算術平均回報 | 幾何平均回報 |
|---|---|---|---|
| 1 | 10% | 5% | 4.88% |
| 2 | 0% |
凱利公式常見問題（FAQ）
Q：凱利公式適用於所有投資嗎？
A：凱利公式主要適用於期望值為正的投資，即長期來看有盈利潛力的投資項目。
Q：凱利公式如何避免破產風險？
A：凱利公式通過計算最佳下注比例，避免過度投資，從而降低因連續虧損而導致的破產風險。
Q：凱利公式是否保證盈利？
A：凱利公式不能保證盈利，而是通過優化下注比例，最大化長期複利增長，並降低破產風險。
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